原理图示
矩阵分解算法：期望为每个用户和物品生成一个隐向量，将用户和物品定位在隐向量的表示空间上，距离相近的用户和物品表名兴趣特点接近，在推荐过程中，就应该把相近的物品推荐给目标用户。
注：k表示隐向量的维度，k的大小决定了隐向量表达能力的强弱，而k的取值要经过多次试验找到一个推荐效果和工程开销的平衡点；
原理 & 公式
对矩阵进行矩阵分解主要有三种方法：
- 特征值分解：只能作用于方阵，显然不适合分解用户-物品矩阵；
- 奇异值分解：奇异值分解要求原始的共现矩阵是稠密的，同时计算复杂度达到O(mn^2)，不适合工程实现；
- 梯度下降：确定目标函数，求解偏导，求取梯度下降的方向和幅度；
公式
- 矩阵分解公式；
基于用户矩阵 和物品矩阵 ，用户 对物品 的预估评分为：
；
其中 是用户 在用户矩阵 中的对应行向量， 是物品 在物品矩阵 中的对应列向量；
- 目标函数（加入正则化项）
xi
- 消除用户和物品打分偏差
其中 为全局偏差常数， 是物品偏差系数，可以使用物品 收到的所有评分的均值； 是用户偏差系数，可以使用用户 给出的所有评分的均值;
优缺点
优点
- 泛化能力强：一定程度上解决了“协同过滤算法”中的数据稀疏问题；
- 空间复杂度低：只需要存储用户和物品的隐向量，空间复杂度从 降低到 ;
- 更好的拓展性和灵活性：矩阵分解的结果便于和其他特征进行组合和拼接，并便于与深度学习网络进行无缝链接；
缺点
- 不方便加入用户、物品和上下文相关特征，丧失了利用很多有效信息的机会，同时缺乏用户历史行为，无法进行有效推荐；
应用场景
- 话题识别：对文本信息进行处理提取信息，如下图所示
- 特征学习：类似于主成分分析（PCA）
- 例如人物脸部特征学习中，利用NMF算法将人脸部不同的特征显示出来；
代码实现
def matrix_factorization(self, r, p, q, hide): """ :param r: 评分矩阵 :param p: 用户矩阵 :param q: 物品矩阵 :param hide: 隐向量维度 :return: """ q = q.T loss_log = [] err_old = 0 # 记录前一个的loss for step in range(self.steps): for i in range(len(r)): for j in range(len(r[i])): if r[i][j] > 0: eij = r[i][j] - np.dot(p[i, :], q[:, j]) for k in range(hide): p[i][k] = p[i][k] + self.alpha * (2 * eij * q[k][j] - self.beta * p[i][k]) q[k][j] = q[k][j] + self.alpha * (2 * eij * p[i][k] - self.beta * q[k][j]) err = 0 for i in range(len(r)): for j in range(len(r[i])): if r[i][j] > 0: err = err + pow(r[i][j] - np.dot(p[i, :], q[:, j]), 2) for k in range(hide): err = err + (self.beta / 2) * (pow(p[i][k], 2) + pow(q[k][j], 2)) loss_log.append(err) if step == 0: err_old = err continue if abs(err_old - err) < 1e-10: break else: err_old = err if err < 0.001: break return p, q.T, loss_log
